Definición: Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que relaciona una función con sus derivadas. En las matemáticas aplicadas, las funciones usualmente representan cantidades físicas, las derivadas representan sus razones de cambio, y la ecuación define la relación entre ellas. Como estas relaciones son muy comunes, las ecuaciones diferenciales juegan un rol primordial en diversas disciplinas, incluyendo la ingeniería, la física, la química, la economía, y la biología.
En las matemáticas puras, las ecuaciones diferenciales se estudian desde perspectivas diferentes, la mayoría concernientes al conjunto de las soluciones de las funciones que satisfacen la ecuación. Solo las ecuaciones diferenciales más simples se pueden resolver mediante fórmulas explícitas; sin embargo, se pueden determinar algunas propiedades de las soluciones de una cierta ecuación diferencial sin hallar su forma exacta
¿Para qué sirven las ecuaciones diferenciales?
La respuesta general es para modelar problemas de cambio. A través de una ecuación diferencial se pueden modelar cambios de cualquier variable, por ejemplo, de posición, de temperatura, de población, de capital; en fin, de cualquier cambio que se presente en la vida cotidiana
Solución de las ecuaciones diferenciales
La solución de una ecuación diferencial es una función y ϭ (x) determinada en el intervalo (a, b), con sus derivadas sucesivas que satisfacen esta ecuación. Esto significa que al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación diferencial se obtiene una identidad para toda x en el intervalo(a, b).
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es una ecuación que contiene una función de una variable independiente y sus derivadas. El término "ordinaria" se usa en contraste con la ecuación en derivadas parciales la cual puede ser respecto a más de una variable independiente. Las ecuaciones diferenciales lineales, las cuales tienen soluciones que pueden sumarse y ser multiplicadas por coeficientes, están bien definidas y comprendidas, y tienen soluciones exactas que pueden hallarse.
En contraste, las EDOs cuyas soluciones no pueden sumarse son no lineales, y su solución es más intrincada, y muy pocas veces pueden hallarse en forma exacta de funciones elementales: las soluciones suelen obtenerse en forma de series o forma integral. Los métodos numéricos y gráficos para EDOs, pueden realizarse manualmente o mediante computadoras, se pueden aproximar las soluciones de las EDOs y su resultado puede ser muy útil, muchas veces suficientes como para prescindir de la solución exacta y analítica.
Ecuaciones derivadas parciales
Una ecuación en derivadas parciales (EDP) es una ecuación diferencial que contiene una función multivariable y sus derivadas parciales. Estas ecuaciones se utilizan para formular problemas que involucran funciones de varias variables, y pueden resolverse manualmente, para crear una simulación por computadora.
Las EDPs se pueden usar para describir una amplia variedad de fenómenos tal como el sonido, el calor, la electrostática, la electrodinámica, la fluidodinámica, la elasticidad, o la mecánica cuántica. Estos distintos fenómenos físicos se pueden formalizar en términos de EDPs. Con ecuaciones diferenciales ordinarias es muy común realizar modelos unidimensionales de sistemas dinámicos, y las ecuaciones diferenciales parciales se pueden utilizar para modelos de sistemas multidimensionales. Las EDPs tienen una generalización en las ecuaciones en derivadas parciales estocásticas.
Ecuaciones diferenciales lineales
Una ecuación diferencial es lineal cuando sus soluciones pueden obtenerse a partir de combinaciones lineales de otras soluciones. Si es lineal, la ecuación diferencial tiene sus derivadas con máxima potencia de 1 y no existen términos en donde haya productos entre la función desconocida y/o sus derivadas. La propiedad característica de las ecuaciones lineales es que sus soluciones tienen la forma de un sub espacio afín de un espacio de soluciones apropiadas, cuyo resultado se desarrolla en la teoría de ecuaciones diferenciales lineales.
Las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas son una subclase de las ecuaciones diferenciales lineales para la cual el espacio de soluciones es un sub espacio lineal, es decir, la suma de cualquier conjunto de soluciones o múltiplos de soluciones, es también una solución. Los coeficientes de la función desconocida, y sus derivadas en una ecuación diferencial lineal pueden ser funciones de la variable o variables independientes, si estos coeficientes son constantes, entonces se habla de ecuaciones diferenciales lineales a coeficientes constantes.
REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA:
- Save Time and Improve your Marks with CiteThisForMe, The No. 1 Citation Tool [Internet]. Cite This For Me. 2019 [cited 18 July 2019]. Available from:http://www.citethisforme.com/cite/website
- García Hernández A. Ecuaciones diferenciales. México, D.F.: Grupo Editorial Patria; 2014. Disponible en: https://ebookcentral.proquest.com/lib/bibliocauladechsp/reader.action?docID=322793&query=ecuaciones%2Bdiferenciales%2Bde%2Bvariables%2Bseparables%2B
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